Mit den drei physikalisch begründbaren Resonanzregeln können wir die resonantesten Intevalle im Bereich einer Tonleiter definieren.
Es handelt sich um folgende zehn Intervalle:
Diese zehn Intervalle sind der Pool, aus dem unsere Tonleitern jeweils fünf oder sieben Töne auswählen.
Wie kommen diese zehn Intervalle zustande?
Wir tun nichts anderes als unsere drei Regeln anzuwenden.
Da es nur auf die relativen Verhältnisse der Frequenzen ankommt, setzen wir die Frequenz des Grundtons als 1. Das macht das Rechnen einfacher.
Die Frequenz des Tonleitertons ist die gesuchte Frequenz F(Tonleiterton) = F(T).
Die Intervalle vom Grundton ist somit: F(T) / 1.
Wie jedes Intervall ist es rechnerisch ein Bruch: B(T) = F(T) / 1.
Die zweite Regel bedeutet, dass die Zahlen im Bruch B(T) ganze Zahlen sein müssen.
Die dritte Regel bedeutet, dass die beiden Zahlen im Bruch, also Zähler und Nenner möglichst klein sein sollen (für starke Resonanzen)
Die erste bedeutet, dass der Wert des enstehenden Bruchs zwischen 1 und 2 liegen muss, weil sonst das enstehende Intervall die Oktave der Tonleiter verlässt und der Ton nicht mehr in der Oktave liegt, also kein Tonleiterton mehr ist.
Und genauso gehen wir jetzt vor:
Nenner = 1
Wir starten mit der kleinst möglichen Zahl im Nenner, nämlich 1 und schauen, was für ganze Zahlen im Zähler möglich sind, damit die erste Regel noch erfüllt bleibt und das Intervall noch in der Oktave liegt.
Es gibt genau zwei Brüche mit dem Nenner 1, welche die Bedingungen erfüllen, nämlich:
1 / 1
2 / 1
Beide Intervalle sind hochresonant. Es gibt in der Tat keine Frequenzverhältnisse, die resonanter sind.
Nenner = 2
Der nächste kleine Nenner ist 2. Damit gibt für das Intervall nur eine Möglichkeit, ohne dass die erste Regel gebrochen würde, nämlich 3 / 2 = 1.5. Ein Intervall 1/2 = 0.5 würde einen Ton unterhalb der Oktave ergeben und ein Intervall 5/2 = 2.5 würd über der Oktave liegen. Diese Intervalle definieren keine Tonleitertöne. Ein Intervall von 4/2 = 2/2 = 2 ist bereits bekannt nämlich die Oktave. Auch 2/2 = 1/1 = 1 hatten wir schon als Grundton der Tonleiter. Neu mit dem Nenner 2 ist also nur:
3 / 2
Die Quinte ist stark resonant. Nach Grundton und Oktave ist es das Intervall mit der stärksten Resonanz. Die Quinte ist kein Oberton des Grundtons. Die Resonanz entsteht durch einen dritten Ton, nämlich den gemeinsamen Oberton des Grundtons und der Quinte. Dieser Ton ist der 2. Oberton des Grundtons und gleichzeitig der 1. Oberton der Quinte. Die Resonanz entsteht, indem auf der Saite des Grundtons dieser verbindende Ton als 2. Oberton mitschwingt und die Saite der Quinte die Schwingung als ihren ersten Oberton erkennt und deshalb mitschwingen lässt. Das Mitschwingen ist möglich, weil der Ton ein Oberton ist (ganze Zahl) und die Bauchzahl dieses Obertons (=2) sehr klein ist und deshalb eine Resonanz ohne grosse Reibungsverluste möglich ist.
Dieser Sachverhalt kann mit dem Quintenexperiment leicht überprüft werden.
Nenner = 3
Mit den gleichen Erklärungen wie oben finden wir:
3 / 3
4 / 3 = Quart
5 / 3 = grosse Sext
6 / 3 -< bereits bekannt: 6/3 = 2/1 = Oktave
Die Quart ist ebenfalls hochresonant. Die Sext ist es etwas weniger. Dies hat damit zu tun, dass der Zähler 5 schon etwas höher ist und es sich zusätzlich um eine Primzahl handelt.
Nenner = 4
4 / 4 = 1 / 1 = 1 = Grundton (schon bekannt)
5 / 4 = grosse Terz
6 / 4 = 3 / 2 = Quint (schon bekannt)
7 / 4
8 / 4 = 2 / 1 = Oktave (schon bekannt)
Neu ist mit Nenner 4 nur die grosse Terz. Diese ist allerdings wiederum hochresonant.
Nenner = 5
5 / 5 = 1 / 1 = Grundton (schon bekannt)
6 / 5 = kleine Terz
7 / 5
8 / 5 = kleine Sext
9 / 5 = kleine Sept
10 / 5 = 2 / 1 = Oktave (schon bekannt)
Mit Nenner 5 bekommen wir neu also drei Intervalle oder Tonleitertöne, nämlich die resonante kleine Terz, die kleine Sext und die kleine Sept.
Weshalb nehmen wir die 7 als Zähler nicht, 8 und 9 hingegen schon? Sind wir da nicht inkonsequent? Bei näherer Betrachtung sehen wir, dass 7 eine Primzahl ist, 8 hingegen ist 2 x 2 x 2 und 9 ist 3 x 3. Die Primzahlkomponenten sind also bei der kleinen Sext und der kleinen Sept mit 2 und 3 weiterhin sehr klein. Weshalb kommt es auf die Primzahlkomponenten an? Der Grund liegt darin, dass die Intervalle für resonante Tonleitern nicht nur zum Grundton resonant sein sollen, sondern auch untereinander. Intervalle (Brüche) mit kleinen Primzahlen lassen sich mit anderen Intervallen leichter in Resonanz bringen, weil so die Kürzungsmöglichkeiten grösser sind und als Konsequenz wieder weniger Bäuche nötig sind für eine Resonanz. Das spielt für Tonleitern eine grosse Rolle, da ja die Töne nicht nur gleichzeitig mit dem Grundton erklingen, sondern auch zu den anderen Tonleitertönen in Resonanz treten können.
Nenner = 6
6 / 6 = 1 / 1 = Grundton (schon bekannt)
7 / 6
8 / 6 = 4 / 3 = Quart (schon bekannt)
9 / 6 = 3 /2 = Quint (schon bekannt)
10 / 6 = 5 / 3 = grosse Sext (schon bekannt)
11 / 6
12 / 6 = 2 / 1 = Oktave (schon bekannt)
Mit Nenner 6 gibt es somit gar keinen neuenTonleiterton
Nenner = 7
Auf diese Nenner verzichten wir, da hohe Primzahl
Nenner = 8
8 ist 2 x 2 x 2. Wir nehmen deshalb diesen Nenner noch hinein, obwohl 8 bereits eine grosse Zahl ist und hoffen, dass wir die entstehenden Intervalle mit anderen bereits bekannten in Resonanz bringen können (was bei 7 nicht möglich wäre).
8 / 8 = 1 / 1 = Grundton (schon bekannt)
9 / 8 = grosse Sekunde
10 / 8 = 5 / 4 = grosse Terz (schon bekannt)
11 / 8
12 / 8 = 3 / 2 = Quinte (schon bekannt)
13 / 8
14 / 8 = 7 / 4
15 / 8 = grosse Sept
16 / 8 = 2 / 1 = Oktave (schon bekannt)
Mit dem Nenner 8 erhalten wir zwei neue Tonleitertöne, nämlich die grosse Sekunde und die grosse Sept
Damit haben wir die 10 resonantesten Intervalle innerhalb einer Oktave bestimmt.
Es handelt sich in der Tat um die Intervalle, die wir in unseren Tonleitern brauchen, nicht mehr und nicht weniger.